Re z, Im z, |z|, arg z < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 So 10.02.2013 | | Autor: | wiwawutz |
| Aufgabe | Gegeben sei die komplexe Zahl [mm] z=(\bruch{i-1}{\wurzel{2}})^{18} [/mm] .
Berechnen Sie Re z, Im z, |z|, arg z. |
Sooo, ich lerne gerade für meine anstehende Klausur. Bei einer alten Klausur ist mir die Aufgabe aufgefallen, die ich irgendwie nicht verstehe.
Das Verfahren an sich, wie man jeweils die einzelnen Sachen berechnet, weiß ich. Nur diese Potenz macht die Aufgabe gerade zu einer Horroraufgabe.
Meine Frage ist also, wie kann ich solche Aufgaben recht einfach berechnen, bei denen solch eine Potenz angegeben ist.
Könnte ja auch die selbe nur mit Potenz 7 oder 8 sein..
Wie muss ich da herangehen?
Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann :)
Grüße,Wutz
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Hallo,
> Gegeben sei die komplexe Zahl
> [mm]z=(\bruch{i-1}{\wurzel{2}})^{18}[/mm] .
> Berechnen Sie Re z, Im z, |z|, arg z.
Eine Möglichkeit hier wäre das Ausnutzen der Potenzgesetze:
[mm] (\bruch{i-1}{\wurzel{2}})^{18}=((\bruch{i-1}{\wurzel{2}})^{2})^{9}=
[/mm]
[mm] (\bruch{i^{2} -2i +1}{2})^{9}=(\bruch{-2i }{2})^{9}= (-i)^{9}= [/mm] - i
Das hilft hoff ich weiter
Viele Grüße
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Hallo,
eine noch etwas allgemeinere Möglichkeit:
Schreibe $z := [mm] \frac{i-1}{\sqrt{2}}$ [/mm] als
$z = [mm] r*e^{i \cdot \phi}$ [/mm] mit $r > 0$, [mm] $\phi \in [/mm] [0, [mm] 2\pi)$
[/mm]
(Euler Darstellung).
Dann ist
[mm] $z^{n} [/mm] = [mm] r^{n}*e^{i\cdot \phi \cdot n}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Di 12.02.2013 | | Autor: | wiwawutz |
Danke - das hilft mir ungemein 
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